lunes, 12 de diciembre de 2016
domingo, 11 de diciembre de 2016
Método de Jacobi para Eigenvalores y Eigenvectores
Los eigenvalores
y eigenvectores, o también llamados valores y vectores propios de una matriz,
tienen representaciones útiles para la ingeniería civil, por ejemplo en el
ámbito estructural. Los eigenvalores y
Eigenvectores representan respectivamente las frecuencias naturales de vibración
y modos de vibrar de una estructura.
Las
propiedades físico mecánicas de una estructura, en el método de elementos
finitos pueden ser almacenadas en matrices cuadradas simétricas. Luego de estas matrices pueden obtenerse los valores
y vectores propios para el análisis dinámico de la estructura.
El
método tradicional para obtener los valores propios de una matriz cuadrada es
mediante el polinomio característico de la matriz. Sin embargo este método es poco útil para
matrices más grandes que 3x3. Es por
esto que se inventaron nuevos métodos iterativos para el cálculo de estos
valores propios.
Uno de
los métodos conocidos es el propuesto por Jacobi, el cual consiste en aplicar
rotaciones estratégicas en ciertos puntos de la matriz cuadrada para
diagonalizar la matriz. Este método es
análogo al utilizado para encontrar las inercias principales de una figura, o
cuando deseamos encontrar los esfuerzos principales de un estado arbitrario de
esfuerzos, con la única diferencia de que esta vez se lo realiza en un espacio
multidimensional.
El
algoritmo resumido de Jacobi para la obtención de los valores y vectores
propios es el siguiente:
Donde:
[A] =
Matriz que se desea diagonalizar
[U] = Triangular
superior de la Matriz [A], haciendo cero todos los demás valores desde la
diagonal hacia abajo, incluyendo la diagonal de [A]
m =
Valor máximo absoluto de la triangular superior [U].
k,l =
posiciones del valor m dentro de la matriz [U]
Toleracia
= valor cercano a cero al que se quiere llegar para lograr la
convergencia. Cuando la matriz A va
diagonalizándose en cada iteración, los
valores fuera de la diagonal de [A] van tendiendo a cero. El método termina las iteraciones cuando se alcanza
la precisión deseada. Digamos que la tolerancia puede escogerse con magnitudes del
orden de 1E-8. (existen métodos para determinar esta tolerancia en función de
los valores de la diagonal principal de la matriz A original)
Ø =
ángulo de rotación aplicado a las filas k,l
[P]i =
Matriz de rotación. Se deben guardar
todas las matrices i de cada iteración para encontrar la matriz [P] final
[P]=
matriz que contiene en columnas, todos los vectores propios cuando se llegó a
la convergencia
λ1, λ2, …. = Eigenvalores o valores propios una vez
alcanzada la convergencia
Nota: El
algoritmo mostrado utiliza una matriz [A] de 10x10, sin embargo es aplicable a
matrices cuadradas simétricas de cualquier dimensión.
sábado, 10 de diciembre de 2016
Centroide e Inercia de un Semicírculo (Demostración)
Esta demostración es particularmente interesante por el uso de coordenadas polares en su resolución. Ya que las fórmulas de centroide e inercia están en coordenadas cartesianas y el semicírculo es más sencillo trabajarlo en coordenadas polares, se debe hacer la transformación pertinente, como sigue.
El planteamiento del problema indica resolver la inercia y centroide de la siguiente figura:
El uso de coordenadas polares nos permite calcular el diferencial de área de la figura, en base a las siguientes componentes:
Y los límites de integración que se utilizarán son, para los ángulos, desde cero hasta PI, y para el radio, desde cero hasta “R”.
A partir de acá, debido a la dificultad que existe al escribir fórmulas en ordenador, se continuará el desarrollo a mano, con las disculpas del caso.
viernes, 9 de diciembre de 2016
Ejemplo: Líneas de influencia - Método matricial
Dada la siguiente viga:
Figura 1
El ejercicio consiste en obtener las líneas de influencia de todos los apoyos y además la línea de influencia de cortante y de momento flector en el punto H de la viga.
Solución
Primero se procede a dividir la viga en puntos convenientes donde consideremos que es necesario que se apoye la carga unitaria. Este paso puede realizarse a criterio, considerando que mientras más divisiones tenga la viga, existirá más coste computacional.
Entonces, dividiendo la viga de tal forma que los apoyos y el punto H coincidan con nudos tenemos:
Entonces, se tienen las siguientes matrices para los cinco tipos de elementos:
Cada una de estas matrices de rigidez viene acompañada de sus respectivos grados de libertad marcados en rojo. Estos grados de libertad ayudan a armar la matriz de rigidez global.
Figura 1
El ejercicio consiste en obtener las líneas de influencia de todos los apoyos y además la línea de influencia de cortante y de momento flector en el punto H de la viga.
Solución
Primero se procede a dividir la viga en puntos convenientes donde consideremos que es necesario que se apoye la carga unitaria. Este paso puede realizarse a criterio, considerando que mientras más divisiones tenga la viga, existirá más coste computacional.
Entonces, dividiendo la viga de tal forma que los apoyos y el punto H coincidan con nudos tenemos:
La enumeración de los elementos es correlativa:
Y la enumeración de grados de libertad de todos los elementos es la siguiente:
Como las divisiones son equidistantes entre apoyos, existen cinco grupos de elementos de diferentes longitudes, para los cuales deberán armarse las respectivas matrices de rigidez.
La fórmula de cada matriz de rigidez va como sigue:
Entonces, se tienen las siguientes matrices para los cinco tipos de elementos:
Cada una de estas matrices de rigidez viene acompañada de sus respectivos grados de libertad marcados en rojo. Estos grados de libertad ayudan a armar la matriz de rigidez global.
Finalmente ensamblada la matriz de rigidez y armado el sistema de ecuaciones se tiene:
Al lado derecho del sistema de ecuaciones se encuentran los vectores de carga. Por ser este un caso de cargas móviles, se acomodaron lado a lado los vectores de carga para cada caso de carga (cada salto de la carga unitaria al siguiente nudo de izquierda a derecha). El arreglo de vectores de carga mostrado nos sirve para resolver todos los casos de carga de manera simultánea.
Luego se eliminan filas y columnas de la matriz de rigidez de los grados de libertad restringidos (5, 13, 25, 33) pues en estos corresponden a los desplazamientos verticales en los apoyos.
Se resuelve el sistema mediante cualquier método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales (por ejemplo Newton Rapson o Jacobi) y se obtienen los desplazamientos en un arreglo matricial para cada estado de carga, de la siguiente manera:
Una vez conocidos los desplazamientos en cada nudo, se pueden reemplazar en el sistema de ecuaciones armado con todos los grados de libertad siguiente:
Entonces multiplicando la matriz [K] por {u} se obtienen vectores de las cargas y reacciones ya resueltos.
En los campos donde no exista una Reacción “R” como incógnita, el vector de la izquierda será igual al vector equivalente de la derecha.
En los campos donde exista una reacción “R” incógnita, se deberá despejar esta reacción para conocer el resultado de la reacción final.
Se tiene, así:
En resumen, si por ejemplo se deseara dibujar la Línea de Influencia de reacciones, se puede generar la siguiente tabla resumen:
Y graficando todas las líneas de influencia en una sola gráfica, se tiene finalmente:
VOLVER A TABLA DE CONTENIDO
Al lado derecho del sistema de ecuaciones se encuentran los vectores de carga. Por ser este un caso de cargas móviles, se acomodaron lado a lado los vectores de carga para cada caso de carga (cada salto de la carga unitaria al siguiente nudo de izquierda a derecha). El arreglo de vectores de carga mostrado nos sirve para resolver todos los casos de carga de manera simultánea.
Luego se eliminan filas y columnas de la matriz de rigidez de los grados de libertad restringidos (5, 13, 25, 33) pues en estos corresponden a los desplazamientos verticales en los apoyos.
Se resuelve el sistema mediante cualquier método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales (por ejemplo Newton Rapson o Jacobi) y se obtienen los desplazamientos en un arreglo matricial para cada estado de carga, de la siguiente manera:
Una vez conocidos los desplazamientos en cada nudo, se pueden reemplazar en el sistema de ecuaciones armado con todos los grados de libertad siguiente:
Entonces multiplicando la matriz [K] por {u} se obtienen vectores de las cargas y reacciones ya resueltos.
En los campos donde no exista una Reacción “R” como incógnita, el vector de la izquierda será igual al vector equivalente de la derecha.
En los campos donde exista una reacción “R” incógnita, se deberá despejar esta reacción para conocer el resultado de la reacción final.
Se tiene, así:
En resumen, si por ejemplo se deseara dibujar la Línea de Influencia de reacciones, se puede generar la siguiente tabla resumen:
Y graficando todas las líneas de influencia en una sola gráfica, se tiene finalmente:
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sábado, 3 de diciembre de 2016
Diagramas de Cortante y Momento en excel
Si bien es cierto que dibujar diagramas de momento y cortante de una viga es fácil, y aun si se los realiza de forma aproximada en Autocad no existe ningún problema pues igual los cálculos de armadura de una viga en función de estos diagramas se los realiza en base a los datos numéricos, el siguiente post tal vez les sirva a algunas personas para el dibujo de estos diagramas en Excel.
Para dibujar estos diagramas se debe contar primero con las ecuaciones de momento y cortante en función de “x”, como en el siguiente ejemplo:
(Referirse aquí para conocer como obtener estas ecuaciones de cortante y momento flector)
A partir de acá el trabajo en Excel consistirá en armar una serie de puntos en función de las ecuaciones mostradas y unirlos con líneas.
Diagrama de Cortante
Empezando con el diagrama de cortante, se ve que está compuesto por dos tramos. El primero de 2.5m y el segundo de 6m. Ambos tramos se deberán dividir en partes iguales de tal forma que se tenga una secuencia de puntos que unidos formen la gráfica. En este caso las gráficas de cortante son rectas así que solo se necesitan dos puntos para cada tramo. Sin embargo se dividirá cada tramo en más tramos para comprender mejor el ejercicio:
Se crean dos columnas. La izquierda contiene las coordenadas de “x” y la derecha contiene la fórmula del cortante en ese tramo en función de la columna izquierda. Así se tienen pares ordenados que graficados se ven así:
Sin embargo, debido al quiebre provocado por la reacción, (punto de singularidad debido a carga puntual) existen en x=2.5 dos valores de cortante. Uno superior y uno inferior. Para corregir el error solamente se aumenta una fila con x=2.5 para el segundo tramo como se muestra:
…y la gráfica se corrige automáticamente
Diagrama de momento flector
Se procede de la misma manera que con el cortante, ingresando las fórmulas parabólicas al rango de funciones de (x) y graficando los pares ordenados
Se nota sin embargo que en x=2.5 la curva entre las dos funciones está suavizada. Para evitar esto conviene unir los puntos con rectas en vez de usar curva suave. Resulta entonces:
Si se notan quiebres muy pronunciados entre rectas siempre se puede aumentar el número de divisiones en (x) de tal manera que se tengan más segmentos(de segmentos de 0.5m a 0.25m en este caso):
Y así se tiene el diagrama de momentos concluido
Se puede descargar la planilla excel del ejemplo haciendo click en planilla excel con V y M
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Para dibujar estos diagramas se debe contar primero con las ecuaciones de momento y cortante en función de “x”, como en el siguiente ejemplo:
(Referirse aquí para conocer como obtener estas ecuaciones de cortante y momento flector)
A partir de acá el trabajo en Excel consistirá en armar una serie de puntos en función de las ecuaciones mostradas y unirlos con líneas.
Diagrama de Cortante
Empezando con el diagrama de cortante, se ve que está compuesto por dos tramos. El primero de 2.5m y el segundo de 6m. Ambos tramos se deberán dividir en partes iguales de tal forma que se tenga una secuencia de puntos que unidos formen la gráfica. En este caso las gráficas de cortante son rectas así que solo se necesitan dos puntos para cada tramo. Sin embargo se dividirá cada tramo en más tramos para comprender mejor el ejercicio:
Se crean dos columnas. La izquierda contiene las coordenadas de “x” y la derecha contiene la fórmula del cortante en ese tramo en función de la columna izquierda. Así se tienen pares ordenados que graficados se ven así:
Sin embargo, debido al quiebre provocado por la reacción, (punto de singularidad debido a carga puntual) existen en x=2.5 dos valores de cortante. Uno superior y uno inferior. Para corregir el error solamente se aumenta una fila con x=2.5 para el segundo tramo como se muestra:
…y la gráfica se corrige automáticamente
Diagrama de momento flector
Se procede de la misma manera que con el cortante, ingresando las fórmulas parabólicas al rango de funciones de (x) y graficando los pares ordenados
Se nota sin embargo que en x=2.5 la curva entre las dos funciones está suavizada. Para evitar esto conviene unir los puntos con rectas en vez de usar curva suave. Resulta entonces:
Si se notan quiebres muy pronunciados entre rectas siempre se puede aumentar el número de divisiones en (x) de tal manera que se tengan más segmentos(de segmentos de 0.5m a 0.25m en este caso):
Y así se tiene el diagrama de momentos concluido
Se puede descargar la planilla excel del ejemplo haciendo click en planilla excel con V y M
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jueves, 1 de diciembre de 2016
Algoritmo de cálculo de pórticos por método Matricial
Un pantallazo global de los pasos a seguir para calcular de principio a fin un pórtico en 2 dimensiones.
El algoritmo es el siguiente:
El algoritmo es el siguiente:
Leyenda:
E = Módulo Elástico de cada elemento
I = Inercia en dirección de la flexión de cada elemento
A = sección de cada barra
L = longitud de cada elemento
[K]rotada = Matriz de rigidez de cada elemento rotada a coordenadas globales
[K]local = Matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas locales
[ß] = Matriz de transformación de coordenadas
[K]global = Matriz ensamblada producto de todas las matrices locales
{u} = Vector de desplazamientos globales
{Q} = Vector de cargas y reacciones
[K]reduc = Matriz de ridigez global con los grados de libertad restringidos eliminados
{u}local = Vector de desplazamientos en coordenadas locales para cada elemento, alineando los
desplazamientos axiales paralelos a la barra y de flexión perpendiculares a la barra
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Ejemplo - Líneas de influencia
Este es un ejercicio que fue planteado para la materia de Isostáticas en un semestre pasado
Consiste en una viga isostática de la que se deben encontrar las líneas de influencia de las reacciones y de momento y cortante en un punto justo al centro de los dos apoyos.
Debido a que se trata de una viga isostática, no se necesitan más que las cotas de longitud de la viga para su resolución. Se puede prescindir de su rigidez para la resolución.
El planteamiento va como sigue:
La solución, presentada igual en imagen:
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Consiste en una viga isostática de la que se deben encontrar las líneas de influencia de las reacciones y de momento y cortante en un punto justo al centro de los dos apoyos.
Debido a que se trata de una viga isostática, no se necesitan más que las cotas de longitud de la viga para su resolución. Se puede prescindir de su rigidez para la resolución.
El planteamiento va como sigue:
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miércoles, 23 de noviembre de 2016
M.E.P. ¿De dónde salen?
Los Momentos de Empotramiento Perfecto (M.E.P.) son comúnmente conocidas como tablas de momentos flectores en los extremos de una viga empotrada a ambos lados. Estas tablas se encuentran ahora en cualquier página de internet, y sirven para la resolución de vigas por diversos métodos, como Cross, pendiente-deflexión, métodos matriciales, etc.
Sin embargo, pocos son los estudiantes de ingeniería se toman el trabajo de ver de dónde salen estos momentos empotrados, y en caso de no tener las tablas a mano, no tienen las herramientas para averiguarlos por cuenta propia.
El método de integración de la elástica de la viga es un método práctico para averiguar estos momentos de empotramiento perfecto. (Ver teoría de Elástica de la viga).
Se tomará el caso más simple, de una viga empotrada a ambos extremos con una carga distribuida uniforme de extremo a extremo:
Donde las incógnitas son los momentos en los extremos.
Aplicando la ecuación de la elástica con puro datos literales como se muestra en el planteamiento del problema, se tiene:
Integrando cuatro veces como es habitual en este método:
Las condiciones de contorno para este problema son:
Apoyo izquierdo: X = 0 → Giro = du/dx=0 ; Deflexión = u = 0
Apoyo derecho : X = L → Giro = du /dx = 0 ; Deflexión = u = 0
Reemplazando estas condiciones en las ecuaciones correspondientes integradas(penúltima y última):
Resolviendo las incógnitas que son las constantes C1, C2, C3, C4, tenemos:
El método de integración de la elástica de la viga es un método práctico para averiguar estos momentos de empotramiento perfecto. (Ver teoría de Elástica de la viga).
Se tomará el caso más simple, de una viga empotrada a ambos extremos con una carga distribuida uniforme de extremo a extremo:
Aplicando la ecuación de la elástica con puro datos literales como se muestra en el planteamiento del problema, se tiene:
Las condiciones de contorno para este problema son:
Apoyo izquierdo: X = 0 → Giro = du/dx=0 ; Deflexión = u = 0
Apoyo derecho : X = L → Giro = du /dx = 0 ; Deflexión = u = 0
Reemplazando estas condiciones en las ecuaciones correspondientes integradas(penúltima y última):
C3 = 0 y C4=0 se encuentran directamente
C1 y C2 se resuelven solucionando el sistema de ecuaciones generado por las dos últimas ecuaciones, donde reordenando términos queda:
Resolviendo el sistema, C1 = qL/2 C2 = -qL²/12
Entonces la ecuación de momento flector (segunda integrada de la ecuación de la elástica) con las constantes reemplazadas es la siguiente:
Reemplazando x=0 y x=L en la ecuación de momento flector, se obtiene:
La diferencia de los signos de estos momentos respecto a los signos de momentos de las tablas se debe a que esta ecuación encontrada de momentos mediante la ecuación de la elástica representa la gráfica del diagrama de momentos flectores a lo largo de toda la viga en función de “x”, entonces representa la tracción de las fibra superiores en la viga en el punto de empotramiento (momento negativo). En cambio los momentos positivo y negativo de las tablas de M.E.P. representan las reacciones en los apoyos. Ambos grupos de momentos son equivalentes.
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Entonces la ecuación de momento flector (segunda integrada de la ecuación de la elástica) con las constantes reemplazadas es la siguiente:
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viernes, 18 de noviembre de 2016
Tablas de Acero de flexión para vigas de Hormigón Armado
En hormigón armado normalmente el cálculo de secciones de acero a flexión es un proceso repetitivo y mecánico una vez que se han obtenido las solicitaciones de corte y momento en una viga. Para esto se necesitan programas de cálculo que nos faciliten el trabajo (ver también Programa de flexión simple en excel)
Las secciones típicas convencionales de vigas para el diseño de casas o edificios pequeños son:
Viga 20x20cm
Viga 20x40cm
Viga 20x50cm
Y las resistencias típicas de hormigón con las que se trabajan son de fc'=20MPa y fc'=25MPa. Y con relación a los aceros las secciones típicas con las que se trabajan son fy=410MPa y fy=500MPa. Por tanto es útil tener siempre disponibles y a mano tablas de secciones de acero para estás características típicas de sección de viga.
A continuación por categorías se tienen las tablas de acero necesario en flexión según el caso que corresponda
El formato de las tablas esta en .txt y las instrucciones de uso son las siguientes:
EJEMPLO:
TABLA DE ACEROS A FLEXIÓN PARA VIGA 20X20
A continuación están los links de las tablas de secciones más comunes
Viga 20x20 fc20 fy410
Viga 20x20 fc20 fy500
Viga 20x20 fc25 fy500
Viga 20x40 fc20 fy410
Viga 20x40 fc20 fy500
Viga 20x40 fc25 fy500
Viga 20x50 fc20 fy410
Viga 20x50 fc20 fy500
Viga 20x50 fc25 fy500
Si se necesitaran tablas de acero de flexión para otras secciones de viga u otras resistencias, no dudar en escribir.
Ver también:
Las secciones típicas convencionales de vigas para el diseño de casas o edificios pequeños son:
Viga 20x20cm
Viga 20x40cm
Viga 20x50cm
Y las resistencias típicas de hormigón con las que se trabajan son de fc'=20MPa y fc'=25MPa. Y con relación a los aceros las secciones típicas con las que se trabajan son fy=410MPa y fy=500MPa. Por tanto es útil tener siempre disponibles y a mano tablas de secciones de acero para estás características típicas de sección de viga.
A continuación por categorías se tienen las tablas de acero necesario en flexión según el caso que corresponda
El formato de las tablas esta en .txt y las instrucciones de uso son las siguientes:
EJEMPLO:
TABLA DE ACEROS A FLEXIÓN PARA VIGA 20X20
A continuación están los links de las tablas de secciones más comunes
Viga 20x20 fc20 fy410
Viga 20x20 fc20 fy500
Viga 20x20 fc25 fy500
Viga 20x40 fc20 fy410
Viga 20x40 fc20 fy500
Viga 20x40 fc25 fy500
Viga 20x50 fc20 fy410
Viga 20x50 fc20 fy500
Viga 20x50 fc25 fy500
Si se necesitaran tablas de acero de flexión para otras secciones de viga u otras resistencias, no dudar en escribir.
Ver también:
 |
| programa de flexión simple |
 |
| Programa de acero de corte |
jueves, 17 de noviembre de 2016
miércoles, 16 de noviembre de 2016
domingo, 1 de mayo de 2016
Matriz de Rigidez para Elementos de Barra en 2 Direcciones
Cuando se trabaja con cerchas con barras con deformación axial solamente, por lo general se necesitan modelos simples en dos dimensiones que simulen el comportamiento de una estructura como la siguiente:
(ecuación 1)
(ecuación 3)
En estos casos, las fórmulas de matriz de rigidez del tema anterior necesitan una transformación de coordenadas para poderlas aplicar en la cercha de la figura.
Entonces, dado un elemento de cercha genérico, como el siguiente, inclinado un ángulo β, con los superíndices (L) para denotar coordenadas locales:
Si escribimos los desplazamientos locales en función de los desplazamientos globales u1, u2, u3 y u4, queda:
que escrito en forma matricial, se muestra así:
(ecuación 1)
De igual manera, en vez de dibujar la barra mencionada en función de los desplazamientos la dibujamos en función de las fuerzas axiales aplicadas en los nodos:
esta vez escribiendo las fuerzas globales en función de las fuerzas locales:
y escribiendo las anteriores ecuaciones en forma matricial, se tiene:
(ecuación 2)
Ahora, la fórmula deducida en el anterior Post de la matriz de rigidez de elementos en una dirección deformados axialmente, es la siguiente:
(ecuación 3)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 3, y este resultado finalmente en la ecuación 2, tenemos el siguiente resultado:
Donde
y [K] es la matriz de rigidez para elementos deformados axialmente, con desplazamiento en dos direcciones.
Finalmente, la ecuación a resolver será {F} = [K]{u}, que es la forma abreviada matricial de escribir el sistema de ecuaciones para resolución de estructuras con cargas en los nudos.
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