martes, 30 de diciembre de 2014

Cercha - Método Matricial + SAP2000

En el siguiente ejemplo, veremos la resolución de una cercha en dos dimensiones, compuesta por elementos de sección tubular metálica.
Solución

Se resolverá esta cercha mediante métodos matriciales, y se hará la comparación de resultados con el programa SAP2000.

El procedimiento a seguir es el mismo que el de los dos ejemplos anteriores:


  1. Calcular matrices individuales de cada elemento
  2. Ensamblar la matriz global 
  3. Eliminación de grados de libertad (casillas celestes. Ver planilla)
  4. Resolución de la ecuación [Kr]{Ur}={Rr} que corresponde a la ecuación sin los grados de libertad restringidos.
  5. Multiplicación de la matriz [K]{u}={R} para encontrar las reacciones en la cercha una vez encontrados los desplazamientos.

Sin embargo, en este ejemplo se adiciona el Postproceso correspondiente al cálculo de solicitaciones y esfuerzos en cada barra. Este postproceso se detalla a continuación:

Los desplazamientos de los nudos de una barra cualquiera, (digamos la barra 1) son U1, U2, U3, U4.  Entonces, las coordenadas desplazadas de los nudos inicial y final de esta barra serán:

(x1-desp,y1-desp) = (x1+U1 , y1+U2)

(x2-desp,y2-desp) = (x2+U3 , y2+U4)

siendo (x1 ; y1 ) las coordenadas iniciales del nudo y (x2  , y2)las coordenadas finales.

Entonces, conociendo las coordenadas desplazadas, puede determinarse la longitud deformada de la barra mediante la ecuación:

y finalmente mediante las ecuaciones de resistencia de materiales, de deformación axial:

donde 
N = solicitación en la barra.
L = longitud de la barra
E = Módulo de elasticidad
e = deformación unitaria.

Adjuntos se encuentran:

Planilla excel con el problema resuelto, haciendo click aquí
Documento en Word con el procedimiento explicado, hacer click aquí
Para descargar el modelo en SAP02000, click en el link

Si existe algún problema al descargar alguno de los archivos, no duden en escribir. 

Saludos.





viernes, 26 de diciembre de 2014

Cercha por Método Matricial

El siguiente ejemplo consiste en la resolución de una cercha o armadura en dos dimensiones mediante el método matricial (un método muy similar o hasta homologo al método de los elementos finitos en su forma más básica en 1-D).

Al igual que en el otro post, se adjunta la planilla excel con:

  1. Matrices individuales de cada elemento
  2. Matriz global ensamblada
  3. Eliminación de grados de libertad (casillas celestes. Ver planilla)
  4. Resolución de la ecuación [Kr]{Ur}={Rr} que corresponde a la ecuación sin los grados de libertad restringidos.
  5. Multiplicación de la matriz [K]{u}={R} para encontrar las reacciones en la cercha una vez encontrados los desplazamientos.
Entonces, la cercha es la siguiente:

Se puede apreciar en el gráfico, la enumeración de los grados de libertad de los nudos, el nombre de los elementos (enumerados), así como las propiedades de elasticidad y sección de cada una de las barras (constante).

Los pasos a seguir en la resolución de la cercha es:
  1. Encontrar la matriz individual de rigidez de cada elemento mediante las fórmulas:
  2. Ensamblar la matriz de rigidez según los grados de libertad de los nudos de cada elemento (esto está muy bien detallado en la planilla excel adjunta).
  3. Una vez ensamblada la matriz de rigidez global [K] se eliminan los grados de libertad restringidos (en este caso, los 1, 2, 11, 12.  Se puede observar que se trata de una cercha hiperestática)
  4. Eliminados los grados de libertad, se procede a la resolución del sistema reducido (en este caso un sistema de ecuaciones de 8 ecuaciones con 8 incógnitas)
    Si llamamos la matriz de rigidez reducida [Kr], entonces el sistema que se forma es:

    [Kr]{Ur}={Rr}   Donde Ur y Rr son los vectores de desplazamientos y cargas reducidos respectivamente.
    entonces,
    {Ur}=[Kr]-1  x {Rr}
  5. Resueltos los {Ur} se vuelve al sistema global [K]{U}={R} y al multiplicar la matriz de rigidez por los desplazamientos ya encontrados de los grados de libertad de los nudos, se encuentran las reacciones de los apoyos
Un siguiente paso a este será, en un postproceso sencillo, encontrar las solicitaciones de las barras en función a los desplazamientos, y por ende en función a las deformaciones de cada barra.   Esto lo mostraré en un siguiente Post.

El archivo excel con la cercha resuelta puede encontrarse haciendo click Aquí

Espero les sirva.   Si existen dudas sobre el proceso, escribir abajo.


--Esfuerzo Axial - Ejemplo

SE TRASLADÓ ESTE POST A ESTE LINK

--Cercha o reticulado por método matricial

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