Demostración de matriz de rigidez de elemento de viga. Método Matricial

Para conocer la matriz de rigidez de un elemento de viga necesitamos encontrar la interacción de los desplazamientos de la viga en relación con las solicitaciones.
Si por ejemplo tenemos la siguiente viga, con las deformaciones u1, u2, u3, y u4 mostradas:

Nótese que los desplazamientos U2 y U4 son en realidad giros.
Estos desplazamientos generan en los extremos de la viga, ciertas solicitaciones de cortante y de momento flector.
Para deducir la matriz de rigidez de una viga debemos analizar las solicitaciones resultantes producto de cada uno de los cuatro desplazamientos mencionados:

Para resolver caso por caso estas solicitaciones provocadas por cada uno de los desplazamientos mostrados utilizaremos el método de integración de la ecuación diferencial de la elástica de la viga.
Por  ejemplo para las solicitaciones del desplazamiento U1, se tiene:

Integrada 4 veces esta ecuación, se encuentran entonces las constantes de integración en base a las siguientes condiciones de contorno:

Resolviendo las constantes de integración:

Y con las constantes encontradas se puede conocer las ecuaciones de momento flector M(x) = d2u/dx2  y de cortante V(x) = d³u/dx³ en función de x.  Para conocer las solicitaciones en los extremos de la viga se reemplaza x = 0 y además x = L:

Encontradas las solicitaciones en cada extremo, se grafican los diagramas V y M

Se repite el proceso para cada uno de los desplazamientos U2, U3, U4:

Desplazamiento U2 (giro del nudo izquierdo):

Desplazamiento U3

Desplazamiento U4 (giro del nudo derecho):

Habiendo terminado la obtención de las solicitaciones de M y V producto de cada caso de desplazamiento, ahora se suman los 4 desplazamientos para generalizar el caso en que el elemento de viga esté sometido a una combinación de los 4 desplazamientos:

Este sistema de cuatro ecuaciones con 4 incógnitas puede escribirse más ordenadamente de forma matricial de la siguiente manera:

La matriz 4x4 mostrada constituye la matriz de rigidez de una viga en 2 dimensiones sometida a desplazamientos verticales y giros en los nudos.  Las fuerzas F1, F2, F3, F4 representan en realidad las solicitaciones V1, M1, V2, M2 respectivamente.   Se debe tener en cuenta que en el método matricial, la convención de signos para desplazamientos y solicitaciones es: Positivo hacia arriba, positivo hacia la derecha, giro positivo antihorario.

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