M.E.P. ¿De dónde salen?

Los Momentos de Empotramiento Perfecto (M.E.P.) son comúnmente conocidas como tablas de momentos flectores en los extremos de una viga empotrada a ambos lados. Estas tablas se encuentran ahora en cualquier página de internet, y sirven para la resolución de vigas por diversos métodos, como Cross, pendiente-deflexión, métodos matriciales, etc.

Sin embargo, pocos son los estudiantes de ingeniería se toman el trabajo de ver de dónde salen estos momentos empotrados, y en caso de no tener las tablas a mano, no tienen las herramientas para averiguarlos por cuenta propia.

El método de integración de la elástica de la viga es un método práctico para averiguar estos momentos de empotramiento perfecto. (Ver teoría de Elástica de la viga).

Se tomará el caso más simple, de una viga empotrada a ambos extremos con una carga distribuida uniforme de extremo a extremo:

Donde las incógnitas son los momentos en los extremos.

Aplicando la ecuación de la elástica con puro datos literales como se muestra en el planteamiento del problema, se tiene:

Integrando cuatro veces como es habitual en este método:

Las condiciones de contorno para este problema son:

Apoyo izquierdo: X = 0 →  Giro = du/dx=0 ; Deflexión = u = 0

Apoyo derecho : X = L →  Giro = du /dx = 0 ; Deflexión = u = 0

Reemplazando estas condiciones en las ecuaciones correspondientes integradas(penúltima y última):

Resolviendo las incógnitas que son las constantes C1, C2, C3, C4, tenemos:

C3 = 0 y C4=0 se encuentran directamente

C1 y C2 se resuelven solucionando el sistema de ecuaciones generado por las dos últimas ecuaciones, donde reordenando términos queda:

Resolviendo el sistema, C1 = qL/2           C2 = -qL²/12

Entonces la ecuación de momento flector (segunda integrada de la ecuación de la elástica) con las constantes reemplazadas es la siguiente:

Reemplazando x=0 y x=L en la ecuación de momento flector, se obtiene:

La diferencia de los signos de estos momentos respecto a los signos de momentos de las tablas se debe a que esta ecuación encontrada de momentos mediante la ecuación de la elástica representa la gráfica del diagrama de momentos flectores a lo largo de toda la viga en función de “x”, entonces representa la tracción de las fibra superiores en la viga en el punto de empotramiento (momento negativo). En cambio los momentos positivo y negativo de las tablas de M.E.P. representan las reacciones en los apoyos. Ambos grupos de momentos son equivalentes.

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