Matriz de Rigidez para Elementos de Barra en 2 Direcciones

Cuando se trabaja con cerchas con barras con deformación axial solamente, por lo general se necesitan modelos simples en dos dimensiones que simulen el comportamiento de una estructura como la siguiente:

En estos casos, las fórmulas de matriz de rigidez del tema anterior necesitan una transformación de coordenadas para poderlas aplicar en la cercha de la figura. 

Entonces, dado un elemento de cercha genérico, como el siguiente, inclinado un ángulo β, con los superíndices (L) para denotar coordenadas locales:

Si escribimos los desplazamientos locales en función de los desplazamientos globales u1, u2, u3 y u4, queda:

que escrito en forma matricial, se muestra así:

 (ecuación 1)

De igual manera, en vez de dibujar la barra mencionada en función de los desplazamientos la dibujamos en función de las fuerzas axiales aplicadas en los nodos:

esta vez escribiendo las fuerzas globales en función de las fuerzas locales:

y escribiendo las anteriores ecuaciones en forma matricial, se tiene:

(ecuación 2)

Ahora, la fórmula deducida en el anterior Post de la matriz de rigidez de elementos en una dirección deformados axialmente, es la siguiente:

(ecuación 3)

Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 3, y este resultado finalmente en la ecuación 2, tenemos el siguiente resultado:

Donde 

y [K] es la matriz de rigidez para elementos deformados axialmente, con desplazamiento en dos direcciones.

Finalmente, la ecuación a resolver será {F} = [K]{u}, que es la forma abreviada matricial de escribir el sistema de ecuaciones para resolución de estructuras con cargas en los nudos.

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