Viga resuelta por método Matricial

Dada la siguiente viga:

Resolver las reacciones de la viga mediante el método Matricial

Solución:

Si se desea aplicar el método matricial de rigidez para resolverla, debemos primero dividir la viga en tres elementos, efectuando las divisiones en cada punto de discontinuidad de carga o apoyo, de la siguiente manera:

Los grados de libertad en los extremos de cada elemento se muestran en la figura.

La matriz de rigidez de un elemento de viga es la siguiente:

En este caso la sección de la viga es constante.  Conviene trabajar en unidades de KN y m, entonces la inercia, módulo elástico y longitudes se trabajarán en estas unidades. Se calculan:

I = b*h³/12 = 0.05*0.10³ / 12   m4

E = 13000000 KPa

L = según la longitud de cada elemento

Entonces se reemplazan estos valores en la matriz de rigidez y se ensamblan los elementos según sus grados de libertad.

La matriz ensamblada es la siguiente:

Se puede ver de la figura, que los grados de libertad restringidos (que no permiten desplazamiento ni giro) son los correspondientes a U1, U2, U3, U7 y U8

Además las cargas equivalentes de las cargas distribuidas son las siguientes (ver fórmulas de momentos de empotramiento perfecto para ver del detalle de como se obtuvieron los valores mostrados)

Se trasladan luego estos valores al sistema de ecuaciones, junto con las incógnitas correspondientes a los desplazamientos y a las reacciones desconocidas. 

El sistema de ecuaciones queda así:

Se eliminan las filas y columnas con los grados de libertad restringidos (1, 2, 3, 7, 8) y se resuelve el sistema de ecuaciones para las incógnitas U4, U5, U6.

Se tiene entonces el resultado: 

U4 = -0.00623077

U5 = -0.009470085

U6 = 0.006358974

Reemplazando estos desplazamientos en el sistema de ecuaciones, se resuelve R1, R2, R3, R7, R8

De donde, despejando las incógnitas se tiene:

R1 = 4.2750 KN (reacción vertical en el apoyo izquierdo)

R2 = 2.0250 KN-m (momento en el apoyo izquierdo)

R3 = 12.5722 KN (reacción vertical en el apoyo central)

R7 = 5.6528 KN (Reacción vertical en el apoyo derecho)

R8 = -2.1583 KN-m (momento en el apoyo derecho)

El siguiente paso consiste en determinar los diagramas de cortante y Momento flector en función a las reacciones encontradas.