El primer método, más complejo y que necesita una base más sólida de cálculo diferencial, se basa en métodos energéticos igualando el trabajo de los desplazamientos virtuales producidos por cargas externas, con el trabajo de las deformaciones virtuales producido por los esfuerzos internos.
El segundo método, que es más sencillo y más directo, se basa en principios de resistencia de materiales. Este es el método que se explica a continuación.
Dado un elemento de barra en 1 dirección, como el que sigue:
Este elemento de barra tiene una sección transversal A y un módulo elástico E.
Cualquiera de los nudos puede desplazarse en la dirección x, y producto de este desplazamiento deformar la barra.
Si asumimos la barra perfectamente elástica, es válida la ecuación:
σ = Eε
y como el esfuerzo σ = F/A = fuerza / area
y como la deformación unitaria ε = du/dx = derivada de los desplazamientos / derivada de x
Reemplazando en la ecuación anterior queda:
F = EA (du/dx)
y como para elementos no infinitesimales, para una carga aplicada en el nudo 1, la derivada de los desplazamientos respecto de x puede interpretarse como la diferencia del desplazamiento del nudo 1 menos el desplazamiento del nudo dos divididos entre la longitud de la barra:
F1 = EA (u1 - u2)/L
Ya que por equilibrio, la fuerza del nudo uno debe ser igual y opuesta a la fuerza del nudo 2,
Se debe cumplir que,
F1 = -F2
Por tanto
F2 = EA (u2-u1)/L
Finalmente escribiendo ambas fórmulas de forma matricial, el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas queda de la siguiente manera:
Este es el sistema de ecuaciones que describe el comportamiento de una barra sometida a fuerzas en una dirección, donde de manera abreviada se escribe {F}=[k]{u} donde:
{F} = Vector de cargas
[k] = Matriz de rigidez local para un elemento
{u} = Vector de desplazamientos
Aplicando las condiciones de contorno y cargas externas puede resolverse cualquier problema de elementos cargados axialmente, con deformación unidireccional.
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