Cercha por Método Matricial

El siguiente ejemplo consiste en la resolución de una cercha o armadura en dos dimensiones mediante el método matricial (un método muy similar o hasta homologo al método de los elementos finitos en su forma más básica en 1-D).

Al igual que en el otro post, se adjunta la planilla excel con:

1. Matrices individuales de cada elemento
2. Matriz global ensamblada
3. Eliminación de grados de libertad (casillas celestes. Ver planilla)
4. Resolución de la ecuación [Kr]{Ur}={Rr} que corresponde a la ecuación sin los grados de libertad restringidos.
5. Multiplicación de la matriz [K]{u}={R} para encontrar las reacciones en la cercha una vez encontrados los desplazamientos.

Entonces, la cercha es la siguiente:

Se puede apreciar en el gráfico, la enumeración de los grados de libertad de los nudos, el nombre de los elementos (enumerados), así como las propiedades de elasticidad y sección de cada una de las barras (constante).

Los pasos a seguir en la resolución de la cercha es:

1. Encontrar la matriz individual de rigidez de cada elemento mediante las fórmulas:
   
2. Ensamblar la matriz de rigidez según los grados de libertad de los nudos de cada elemento (esto está muy bien detallado en la planilla excel adjunta).
3. Una vez ensamblada la matriz de rigidez global [K] se eliminan los grados de libertad restringidos (en este caso, los 1, 2, 11, 12.  Se puede observar que se trata de una cercha hiperestática)
4. Eliminados los grados de libertad, se procede a la resolución del sistema reducido (en este caso un sistema de ecuaciones de 8 ecuaciones con 8 incógnitas)
   Si llamamos la matriz de rigidez reducida [Kr], entonces el sistema que se forma es:
   
   [Kr]{Ur}={Rr}   Donde Ur y Rr son los vectores de desplazamientos y cargas reducidos respectivamente.
   entonces,
   {Ur}=[Kr]-1  x {Rr}
5. Resueltos los {Ur} se vuelve al sistema global [K]{U}={R} y al multiplicar la matriz de rigidez por los desplazamientos ya encontrados de los grados de libertad de los nudos, se encuentran las reacciones de los apoyos

Un siguiente paso a este será, en un postproceso sencillo, encontrar las solicitaciones de las barras en función a los desplazamientos, y por ende en función a las deformaciones de cada barra.   Esto lo mostraré en un siguiente Post.

El archivo excel con la cercha resuelta puede encontrarse haciendo click Aquí

Espero les sirva.   Si existen dudas sobre el proceso, escribir abajo.